更新时间:2017-08-19
你好，陈先seng • 博弈论:第八课：强、弱纳什均衡与临界点
一、参选博弈更多的均衡：
上次留下的问题是，是否最左边的左派，与最右边的右派站起来是一个NE？答案是，不是。因为靠中间任何一个人站起来，就会取得胜利，这样对于每个人就不会是最优决策。
但是这种状况提供了一个有趣的范例，因为它提出在有两个人参选，在何种情况下成为NE？
我们不妨考虑一种极端情况，即他们中间有第三个人站起来，三个人打平的状况。此时有
其中1.2.3分别代表三个候选人的政治立场，可以发现，他们关于这条政治立场的线段三等份，
那么他们的政治立场分别为： 1/6、3/6、5/6
换而言之，在这种极端情况下，只有最中立的选民站起来，才可能取胜。
那么，如果这两个候选人的政治立场向中间靠拢，就会使得哪怕最中立的选民站起来也是无利可图的，换而言之，此时就构成了NE
因此，两个候选人站起来，并且构成NE的条件是，他们的政治立场必须：
1/6 < X 和Y <5/6 ，别且他们两个的政治立场X、Y，要对称
换而言之，满足这个条件的所有这个线段的上的点，都构成了NE
二、选镇博弈（种族隔离模型）：
假设：
1.有两个小镇，东镇 E 和西镇 W
2.参与者被分成两种人，大个子 T 和小个子 S ，别且每种人十万
3.每个小镇只能容纳十万人
4.你们的收益如下图
横轴表示在这个小镇中，与你相同的人种的数量
纵轴表示你们的效用
5.如果城镇中的人种 T 和 S并不是均分的，那么他们更喜欢与自己同样人种的人居住在一起
那么你会选哪个小镇来居住呢？
为了能够让模型运作，我们还要加入两个假设：
6. 你们必须同时选择
7.如果有过多的人选择了同一个镇，那么我们就按照概率随机安排
在这次课堂游戏里，我们会发现这个博弈，使得大个子 T 与小个子 S完全隔离了
那么在此基础上，我们思考这个模型的NE。
首先想到的这个模型应该有两个均衡：
（1） “所有大个子 T 都在 W，所有小个子 S 都在 E”；以及“所有小个子 S 都在 W ，所有大个子都在 E”
还有一个均衡：
（2） 他们在 W 和 E 两个镇彼此均分人数
对于这两个均衡而言，为什么我们在课堂游戏中更多的得到了（1），而不是（2）？
因为 稳定性（stable）。
我们试着从破坏均衡的角度考虑这个问题：
对于（2）而言，这个均衡，他们依赖于均等这个严苛的状况，任何一个人（或说少数）的离开、出走、破坏，都使得这种均衡被打破。
但是对于（1）而言，少数的破坏并不会使得结果变得更糟，甚至会变得更好些。而且对于破坏的少数而言，他们遭受的惩罚更严重，效用会直接变为0。但是对于破坏（2）而言，在哪个城市居住的状况，因为在哪里都不会是少数，我们的效用都会降低到0的程度，。
因此，我们称（2）这样的NE为弱纳什均衡（Weak Nash equilibrium ），而称（1）这样的更具稳定性的为强纳什均衡。
而对于（1）这个博弈而言，他们有一个严格的临界点（Tipping point）。过了这个临界点，比如，在T 和S 人种多的那个镇，会不断积累人数，从而产生与之对应的结果。
要理解 Tipping point 的概念，还记得我们曾经在第五课讲的投资博弈吗？90%的人投资，就是一个临界点，超过了这个临界点，最终会形成人们都投资的均衡，而没有超过，则会不断跌落到都不投资的均衡。
临界点的概念对于我们人为干预博弈，从而达成另一种均衡很有用。在我们向得到另一种均衡时，比如在投资博弈中，我们想要将无人投资的均衡变为都投资，那么我们需要利用契约或其他外部因素，只需引导人们越过90%的临界点，那么人们自然而然会形成另一个均衡。
继续在这个基础上思考，这个博弈还有其他均衡吗？
是的，这个博弈还存在其他的均衡，但是这个均衡很特殊。
（3）我们让所有人都选择 W ，这样根据概率分配原则，和大数定律，基本上能够保证每个城市1:1的近似比率，也就达成了类似于（2）的均衡；当然，我们也可以同样让人们都选择 E 镇
但是这个博弈是我们基于游戏规则而定立，这很特殊，我们感觉很无所谓的假设，却能够起到很大的作用。
回过头来我们发现，对于均衡（1）来说，虽然均衡（2）的效用更高，但是人们还是更倾向于出现（1）的状况。人们理性的选择，再一次带来了次优的结果。
但是这时候均衡（3）却带来了另一些改变，因为它并不是以人们的自由选择为前提的，反而某种程度上剥夺了人们的自由选择，却带来了最优的结果。
模型与现实状况：
1.这个模型在解释现实生活中某些状况可能很有用，为什么人们会出现种族隔离？
是因为他们喜欢种族隔离的状况吗？也许并不是。
我们发现即便给予非种族隔离的状况以更高的效用，但种族隔离依然会在人们理性选择后出现。
2.“物以类聚，人以群分”的状况似乎能够在这个模型中得到解释
3.而这个模型的均衡（3）似乎给了我们打破“物以类聚人以群分”状况的方法，那就是剥夺人们自主选择，由国家或者随机分配的原则，便能够遏制这种状况。
三、混合策略 （mixed strategy）
这个博弈，也就是剪刀石头布的博弈，对于这个博弈，我们很难有纯策略 （pure strategy） ，只能依赖混合策略 （mixed strategy ）。
什么意思的呢？
比如对于这个博弈，我们的BR是：1/3概率选R，1/3概率选S，1/3概率选P。
某种程度上来说，纯策略是混合策略的特例，是100%概率的某个策略，而其他策略概率为0
下一课我们会讲混合策略，这里是略带一提
上次留下的问题是，是否最左边的左派，与最右边的右派站起来是一个NE？答案是，不是。因为靠中间任何一个人站起来，就会取得胜利，这样对于每个人就不会是最优决策。
但是这种状况提供了一个有趣的范例，因为它提出在有两个人参选，在何种情况下成为NE？
我们不妨考虑一种极端情况，即他们中间有第三个人站起来，三个人打平的状况。此时有
其中1.2.3分别代表三个候选人的政治立场，可以发现，他们关于这条政治立场的线段三等份，
那么他们的政治立场分别为： 1/6、3/6、5/6
换而言之，在这种极端情况下，只有最中立的选民站起来，才可能取胜。
那么，如果这两个候选人的政治立场向中间靠拢，就会使得哪怕最中立的选民站起来也是无利可图的，换而言之，此时就构成了NE
因此，两个候选人站起来，并且构成NE的条件是，他们的政治立场必须：
1/6 < X 和Y <5/6 ，别且他们两个的政治立场X、Y，要对称
换而言之，满足这个条件的所有这个线段的上的点，都构成了NE
二、选镇博弈（种族隔离模型）：
假设：
1.有两个小镇，东镇 E 和西镇 W
2.参与者被分成两种人，大个子 T 和小个子 S ，别且每种人十万
3.每个小镇只能容纳十万人
4.你们的收益如下图
横轴表示在这个小镇中，与你相同的人种的数量
纵轴表示你们的效用
5.如果城镇中的人种 T 和 S并不是均分的，那么他们更喜欢与自己同样人种的人居住在一起
那么你会选哪个小镇来居住呢？
为了能够让模型运作，我们还要加入两个假设：
6. 你们必须同时选择
7.如果有过多的人选择了同一个镇，那么我们就按照概率随机安排
在这次课堂游戏里，我们会发现这个博弈，使得大个子 T 与小个子 S完全隔离了
那么在此基础上，我们思考这个模型的NE。
首先想到的这个模型应该有两个均衡：
（1） “所有大个子 T 都在 W，所有小个子 S 都在 E”；以及“所有小个子 S 都在 W ，所有大个子都在 E”
还有一个均衡：
（2） 他们在 W 和 E 两个镇彼此均分人数
对于这两个均衡而言，为什么我们在课堂游戏中更多的得到了（1），而不是（2）？
因为 稳定性（stable）。
我们试着从破坏均衡的角度考虑这个问题：
对于（2）而言，这个均衡，他们依赖于均等这个严苛的状况，任何一个人（或说少数）的离开、出走、破坏，都使得这种均衡被打破。
但是对于（1）而言，少数的破坏并不会使得结果变得更糟，甚至会变得更好些。而且对于破坏的少数而言，他们遭受的惩罚更严重，效用会直接变为0。但是对于破坏（2）而言，在哪个城市居住的状况，因为在哪里都不会是少数，我们的效用都会降低到0的程度，。
因此，我们称（2）这样的NE为弱纳什均衡（Weak Nash equilibrium ），而称（1）这样的更具稳定性的为强纳什均衡。
而对于（1）这个博弈而言，他们有一个严格的临界点（Tipping point）。过了这个临界点，比如，在T 和S 人种多的那个镇，会不断积累人数，从而产生与之对应的结果。
要理解 Tipping point 的概念，还记得我们曾经在第五课讲的投资博弈吗？90%的人投资，就是一个临界点，超过了这个临界点，最终会形成人们都投资的均衡，而没有超过，则会不断跌落到都不投资的均衡。
临界点的概念对于我们人为干预博弈，从而达成另一种均衡很有用。在我们向得到另一种均衡时，比如在投资博弈中，我们想要将无人投资的均衡变为都投资，那么我们需要利用契约或其他外部因素，只需引导人们越过90%的临界点，那么人们自然而然会形成另一个均衡。
继续在这个基础上思考，这个博弈还有其他均衡吗？
是的，这个博弈还存在其他的均衡，但是这个均衡很特殊。
（3）我们让所有人都选择 W ，这样根据概率分配原则，和大数定律，基本上能够保证每个城市1:1的近似比率，也就达成了类似于（2）的均衡；当然，我们也可以同样让人们都选择 E 镇
但是这个博弈是我们基于游戏规则而定立，这很特殊，我们感觉很无所谓的假设，却能够起到很大的作用。
回过头来我们发现，对于均衡（1）来说，虽然均衡（2）的效用更高，但是人们还是更倾向于出现（1）的状况。人们理性的选择，再一次带来了次优的结果。
但是这时候均衡（3）却带来了另一些改变，因为它并不是以人们的自由选择为前提的，反而某种程度上剥夺了人们的自由选择，却带来了最优的结果。
模型与现实状况：
1.这个模型在解释现实生活中某些状况可能很有用，为什么人们会出现种族隔离？
是因为他们喜欢种族隔离的状况吗？也许并不是。
我们发现即便给予非种族隔离的状况以更高的效用，但种族隔离依然会在人们理性选择后出现。
2.“物以类聚，人以群分”的状况似乎能够在这个模型中得到解释
3.而这个模型的均衡（3）似乎给了我们打破“物以类聚人以群分”状况的方法，那就是剥夺人们自主选择，由国家或者随机分配的原则，便能够遏制这种状况。
三、混合策略 （mixed strategy）
这个博弈，也就是剪刀石头布的博弈，对于这个博弈，我们很难有纯策略 （pure strategy） ，只能依赖混合策略 （mixed strategy ）。
什么意思的呢？
比如对于这个博弈，我们的BR是：1/3概率选R，1/3概率选S，1/3概率选P。
某种程度上来说，纯策略是混合策略的特例，是100%概率的某个策略，而其他策略概率为0
下一课我们会讲混合策略，这里是略带一提
